Từ phương trình đường tròn: x² + y² = R²

Đặt F(x,y) = x² + y² - R² ,ta có nhận xét:

< 0 nếu (x,y) ở trong đường tròn

F(x,y) = 0 nếu (x,y) ở trên đường tròn

> 0 nếu (x,y) ở ngoài đường tròn

Giả sử đã vẽ được điểm (x_i,y_i), điểm kế tiếp cần vẽ là P hoặc Q (Hình 1.6).

Gọi M là trung điểm của PQ ÞM(x_i + 1,y_i - ). Lúc này, việc chọn các điểm P hay Q được đưa về việc xét dấu của:

p_i = F(M) = F(x_i + 1,y_i - )

Ø Nếu p_i < 0: M ở trong đường tròn Þđường tròn gần P hơn ÞChọn P.

Ø Ngược lại: Chọn Q.

Tương tự:

p_i+1 = F(x_i+1 + 1,y_i+1 - )

Suy ra:

p_i+1 - p_i = F(x_i+1 + 1,y_i+1 - ) - F(x_i + 1,y_i - )

= [(x_i+1+1)² + (y_i+1 - )² - R²] - [(x_i+1)² + (y_i - )² - R²]

= [(x_i+2)² + (y_i+1 - )² - R²] - [(x_i+1)² + (y_i - )² - R²]

= 2x_i + 3 + (y_i+1² - y_i²) - (y_i+1 - y_i)

hay

p_i+1 = p_i + 2x_i + 3 + (y_i+1² - y_i²) - (y_i+1 - y_i) (*)

*Nhận xét:

Nếu p_i < 0: Chọn điểm P hay chọn y_i+1 = y_i.

Từ (*) Þp_i+1 = p_i + 2x_i + 3

Nếu p_i ³0: Chọn điểm Q hay chọn y_i+1 = y_i - 1.

Từ (*) Þp_i+1 = p_i + 2(x_i - y_i) + 5

Với điểm đầu tiên (0,R), ta có:

p₁ = F(x₁ + 1,y₁ - ) = F(1,R - ) = 1 + (R - )² - R²

p₁ = 1 - R