Bài viết sưu tầm

Cú pháp và ngữ nghĩa của logic vị từ

a. Cú pháp

·              Các ký hiệu

- Hằng: được biểu diễn bằng chuỗi ký tự bắt đầu bằng chữ cái thường hoặc các chữ số hoặc chuỗi ký tự đặt trong bao nháy. Ví dụ: a,b, c, “An”, “Ba”,...

- Biến: tên biến luôn bắt đầu bằng chữ cái viết hoa. Ví dụ: X, Y, Z, U, V,...

- Vị từ: được biểu diễn bằng chuỗi ký tự bắt đầu bằng chữ cái thường. Ví dụ: p, q, r, s, like,...

   Mỗi vị từ là vị từ của n biến (n³0). Các ký hiệu vị từ không có biến là các ký hiệu mệnh đề

   Ví dụ:    like(X,Y) là vị từ của hai biến

                 u(X) là vị từ một biến

                 r là vị từ không biến

- Hàm:f, g, cos, sin, mother,...

   Mỗi hàm là hàm của n biến (n³1). Ví dụ: cos, sin là hàm một biến

- Lượng từ:"(với mọi), $(tồn tại).

   Ví dụ:    "X, p(X) nghĩa là với mọi giá trị của biến X đều làm cho biểu thức p đúng.

                 $X, p(X) nghĩa là có ít nhất một giá trị của biến X để làm cho biểu thức p đúng.

- Các ký hiệu kết nối logic:Ù(hội), Ú(tuyển), Ø(phủ định), Þ(kéo theo), Û(kéo theo nhau).

- Các ký hiệu ngăn cách:dấu phẩy, dấu mở ngoặc và dấu đóng ngoặc.

·              Các hạng thức

  Các hạng thức (term) là các biểu thức mô tả các đối tượng. Các hạng thức được xác định đệ quy như sau:

- Các ký hiệu hằng và các ký hiệu biến là hạng thức

- Nếu t₁, t₂, t₃,...,t_n là n hạng thức và f là một ký hiệu hàm n biến thì f(t₁, t₂, t₃,...,t_n) là hạng thức. Một hạng thức không chứa biến được gọi là một hạng thức cụ thể (ground term).

Ví dụ: An là một ký hiệu hằng, mother là ký hiệu hàm một biến thì mother(“An”) là một hạng thức cụ thể

·              Các công thức phân tử

  Chúng ta sẽ biểu diễn các tính chất của đối tượng, hoặc các quan hệ giữa các đối tượng bởi các công thức phân tử (câu đơn)

Các công thức phân tử được xác định đệ quy như sau

- Các ký hiệu vị từ không biến (các ký hiệu mệnh đề) là công thức phân tử

- Nếu t₁, t₂, t₃,...,t_n là n hạng thức và p là vị từ của n biến thì p(t₁, t₂, t₃,...,t_n) là công thức phân tử.

Ví dụ:Hoa là một ký hiệu hằng, love là một vị từ hai biến, husband là hàm của một biến thế thì love(“Hoa”, husband(“Hoa”)) là một công thức phân tử.

Các công thức

   Từ công thức phân tử, sử dụng các kết nối logic và các lượng từ, ta xây dựng nên các công thức (các câu)

   Các công thức được xác định đệ quy như sau:

     - Các công thức phân tử là công thức

     - Nếu G và H là các công thức thì các biểu thức (GÙH), (GÚH), (ØG), (GÞH), (GÛH) là công thức

     - Nếu G là một công thức và X là biến thì các biểu thức "x (G), $x (G) là công thức

   Các công thức không phải là công thức phân tử sẽ được gọi là các câu phức hợp. Các công thức không chứa biến sẽ được gọi là công thức cụ thể. Khi viết các công thức ta sẽ bỏ đi các dấu ngoặc không cần thiết, chẳng hạn các dấu ngoặc ngoài cùng.

   Lượng từ phổ dụng (universal quantfier) cho phép mô tả tính chất của cả một lớp các đối tượng chứ không phải của một đối tượng mà không cần phi liệt kê ra tất cả các đối tượng trong lớp. Chẳng hạn sử dụng vị từ elephant(X) (đối tượng X là con voi) và vị từ color(X, “Gray”) (đối tượng X có màu xám) thì câu “tất cả các con voi đều có màu xám” có thể biểu diễn bởi công thức: "x(elephant(x) Þcolor(x, “Gray”))

   Lượng từ tồn tại (existantial quantifier) cho phép ta tạo ra các câu nói đến một đối tượng nào đó trong một lớp đối tượng mà nó có một tính chất hoặc thõa mãn một quan hệ nào đó. Chẳng hạn bằng cách sử dụng các câu đơn student(X) (X là sinh viên) và inside(X, “P301”) (X ở trong phòng 301), ta có thể biểu diễn câu “Có một sinh viên ở phòng 301” bởi biểu thức: $x (student(x) Ùinside(x, “P301”))

  Một công thức là công thức phân tử hoặc phủ định công thức phân tử được gọi là literal. Chẳng hạn, play(x, “Football”), Ølike(“Lan”, “Rose”) là các literal. Một công thức là tuyển của các literal sẽ được gọi là câu tuyển. Chẳng hạn, male(x)ÚØlike(x,”Football”) là câu tuyển.

   Trong công thức "x(G), hoặc  $x(G) trong đó G là một công thức nào đó thì mỗi xuất hiện của biến X trong công thức G được gọi là xuất hiện buộc. Một công thức mà tất cả các biến đều là xuất hiện buộc thì được gọi là công thức đóng.

   Ví dụ:Công thức "x, p(x, f(a,x)) Ù$y, q(y) là công thức đóng, còn công thức "x,p(x, f(y,x)) không phải là công thức đóng vì sự xuất hiện của biến Y trong công thức này không chịu ràng buộc bởi một lượng tử nào cả (sự xuất hiện của Y gọi là sự xuất hiện tự do)

b. Ngữ nghĩa

   Cũng như trong logic mệnh đề, nói đến ngữ nghĩa là chúng ta nói đến ý nghĩa của các công thức trong một thế giới hiện thực nào đó mà chúng ta sẽ gọi là một minh họa. Để xác định một minh họa, trước hết ta cần xác định một miền đối tượng (nó bao gồm tất cả các đối tượng trong thế giới thực mà ta quan tâm).

   Trong một minh họa, các ký hiệu hằng sẽ được gắn với các đối tượng cụ thể trong miền đối tượng, các ký hiệu hàm sẽ được gắn với một hàm cụ thể nào đó. Khi đó mỗi hạng thức cụ thể sẽ chỉ định một đối tượng cụ thể trong miền đối tượng. Chẳng hạn nếu An là một ký hiệu hằng, father là một ký hiệu hàm, nếu trong minh họa An ứng với một người cụ thể nào đó, còn father(X) gắn với hàm ứng với mỗi X là cha của nó, thì hạng thức father(“An”) sẽ chỉ người cha của An.

·              Ngữ nghĩa của các câu đơn

   Trong một minh họa, các ký hiệu vị từ sẽ được gắn với một thuộc tính hoặc một quan hệ cụ thể nào đó. Khi đó, mỗi công thức phân tử (không chứa biến) sẽ chỉ định một sự kiện cụ thể. Đưng nhiên sự kiện này có thể là đúng (true) hoặc sai (false). Chẳng hạn, nếu minh họa, ký hiệu hằng Lan ứng với một cô gái cụ thể nào đó còn student(X) ứng với thuộc tính X là sinh viên thì câu student (“Lan”) có giá trị chân lý là true hoặc false tùy thuộc trong thực tế Lan có phi sinh viên hay không.

·              Ngữ nghĩa của các câu phức hợp

   Khi đã xác định được ngữ nghĩa của các câu đơn, ta có thể xác định được ngữ nghĩa của các câu phức hợp (được tạo thành từ các câu đơn bằng các liên kết các câu đơn bởi các kết nối logic) như trong logic mệnh đề

            Ví dụ: Câu student(“Lan”) Ùstudent(“An”) nhận giá trị true nếu cả hai câu student(Lan) và student(An) đều có giá trị true, tức là cả Lan và An đều là sinh viên